Die Keplersche Vermutung

Der fünfte und vorerst letzte Teil der Vortragsserie Next Generation JKU steht ganz im Zeichen der Mathematik. Next Generation JKU wurde in Kooperation mit der Johannes Kepler Universität Linz ins Leben gerufen, um herausragenden jungen WissenschaftlerInnen der Technisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät, die Möglichkeit zu geben, mithilfe der Spitzentechnologien des Deep Space 8K im Ars Electronica Center ihre Forschung zu präsentieren.

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Credit: Magdalena Sick-Leitner

An der Johannes Kepler Universität forschen großartige WissenschaftlerInnen, deren Arbeiten weltweit in den renommiertesten Fachjournalen zitiert werden. Aber in ihrer Heimat Österreich ist ihre Arbeit kaum bekannt. Wer sind diese jungen, brillanten oberösterreichischen WissenschaftlerInnen und woran genau forschen sie? Sie sollen nun vor den Vorhang geholt und der Öffentlichkeit vorgestellt werden. Aus diesem Grund haben die Johannes Kepler Universität Linz und das Ars Electronica Center die Vortragsreihe „Deep Space LIVE: Next Generation JKU initiiert.

Am DO 1.6.2017, 19:00 findet der nächste – und leider vorerst letzte – Vortrag statt. Das Thema diesmal ist die Mathematik. Dr. Christoph Koutschan, Mathematiker und Research Scientist am Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM) der JKU spricht über die sogenannte Keplersche Vermutung. Wir haben uns mit ihm darüber unterhalten, wie ihr mathematischer Beweis mittels modernster Computertechnologie gelungen ist und welche weiteren interessanten Entwicklungen es in der Welt der Mathematik gibt.

Dr. Koutschan, was ist die Keplersche Vermutung und wieso fiel ihr Beweis in den vergangenen 400 Jahren so schwer?

Christoph Koutschan: Die Keplersche Vermutung besagt, dass es keine Möglichkeit gibt, Kugeln dichter, das heißt effizienter, zu stapeln als mit der sogenannten kubisch-flächenzentrierten Packungsweise: diese entspricht genau der Art und Weise, wie man zum Beispiel Orangen aufstapelt. Diese Vermutung zu beweisen war deshalb so schwer, weil es ja prinzipiell unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Menge von Kugeln im Raum anzuordnen. Man müsste also für jede dieser unendlich vielen Anordnungen nachrechnen, dass sie keine höhere Dichte als die kubisch-flächenzentrierte Packung besitzt.

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Credit: Magdalena Sick-Leitner

Sie sprechen in Ihrem Vortrag auch vom Thomas-Hales-Beweis von 1998. Worin liegt die Schwierigkeit, diesen Beweis zweifelsfrei anzuerkennen – Stichwort Computerbeweis? Wie ist der derzeitige Stand in der Fachwelt?

Christoph Koutschan: Der Beweis basiert auf sehr umfangreichen und komplizierten Computerberechnungen, die mehrere Jahre gedauert haben. Zusätzlich zu einem Hunderte Seiten langen Manuskript beinhaltet er tausende Zeilen Programmcode und mehrere Gigabyte an Daten. Ein solches Konvolut auf absolute Korrektheit zu überprüfen, ist praktisch ein Ding der Unmöglichkeit. Die zwölfköpfige Gutachterjury ist dann auch nach jahrelanger Arbeit an dieser Aufgabe gescheitert und konnte lediglich konstatieren, sie seien zu 99 Prozent von der Korrektheit des Beweises überzeugt. Im Jahr 2003 begann Hales mit dem Flyspeck-Projekt, mit dem Ziel, seinen ursprünglichen Beweis zu formalisieren. Das heißt, ihn in elementare Schritte zu zerlegen, die den logischen Schlussregeln folgen. Ein solcher formaler Beweis ist zwar nicht unbedingt kürzer, aber er kann mit einem relativ einfachen Computerprogramm überprüft werden. Dieses Projekt wurde 2014 abgeschlossen und der Beweis gilt mittlerweile als weithin anerkannt.

Es gibt eine ganze Reihe wichtiger ungelöster mathematischer Probleme, die – teilweise seit  Jahrhunderten – auf eine Lösung bzw. einen Beweis warten. Als Nicht-Mathematiker hat man gerne den Eindruck, dass schon in relativ wenigen Jahren viele dieser Probleme gelöst sein werden. Schließlich kommen immer größere und leistungsstärkere Computer zum Einsatz…

Christoph Koutschan: Nein, so einfach ist es leider nicht. Ein ganz wesentlicher Schritt im Beweis der Keplerschen Vermutung sind nämlich die Vorarbeiten des ungarischen Mathematikers László Fejes Tóth, der mit einem theoretischen Argument die unendlich vielen zu testenden Kugelanordnungen auf endlich viele reduziert hat. Erst dieser Schritt machte es überhaupt möglich, an den Einsatz eines Computers zu denken.

Zwei sehr prominente, ungelöste Probleme sind die Riemannsche Vermutung und die Goldbachsche Vermutung. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass jede der unendlich vielen nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf der kritischen Geraden liegt. Die Goldbachsche Vermutung behauptet, dass jede gerade Zahl – die größer als zwei ist – als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Wie bei der Keplerschen Vermutung sind also auch bei diesen noch ungelösten mathematischen Problemen unendlich viele Fälle zu testen. Mit dem Unterschied, dass es hier leider noch nicht gelungen ist, sie auf eine endliche Zahl von Tests zu reduzieren. Sie können mir glauben: wenn dem so wäre, dann wäre ich der Erste, der den Großrechner „Mach“ an der JKU in Betrieb setzen würde, um den Beweis zu vollenden!

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Credit: Magdalena Sick-Leitner

Welche konkreten Anwendungsbereiche gibt es für die Keplersche Vermutung – außer den naheliegenden: das Stapeln von Obst auf dem Markt und dem Verpacken und Transportieren von kugelförmigen Gütern?

Christoph Koutschan: Weitere direkte Anwendungen der Vermutung sind mir nicht bekannt. Interessanterweise sind aber die Methoden, die Hales für seinen Beweis entwickelt und benutzt hat, in anderen Bereichen äußerst nützlich: zum Beispiel bei der Kompression von digitalen Daten – auch hier geht es ja darum, die Daten möglichst dicht in eine Datei zu packen. Die Methode der linearen Optimierung, die von Hales angewendet und verfeinert wurde, wird beispielsweise auch zur Verkehrsplanung und zur Optimierung von Produktionsprozessen eingesetzt. Damit verhält es sich mit der Kepler-Vermutung genauso wie mit der q-TSPP-Vermutung, auf die ich in meinem Vortrag ebenfalls eingehen werde, und deren Beweis mir, in Zusammenarbeit mit Kollegen von der JKU und aus Amerika, im Jahr 2011 gelungen ist. Auch hier ist es nicht das Resultat selbst, welches für Anwendungen interessant ist, sondern die von uns entwickelten Methoden, die zu seinem Beweis notwendig waren.

Bei der Vortragsreihe Next Generation JKU im Ars Electronica Center haben Sie die Möglichkeit, die Technologie des Deep Space zu nutzen. Welche Vorteile ergeben sich durch den Deep Space für die Präsentation Ihrer Forschung?

Christoph Koutschan: Zum einen eignet sich natürlich die riesige Leinwand ganz vorzüglich, um Inhalte verständlich und spannend zu kommunizieren. Oft hat man bei Vorträgen auf Kongressen das Problem, dass eine Folie bereits mit wenigen Sätzen und Formeln voll ist, so dass man weiterblättern muss. Im Deep Space kann man jede einzelne Folie länger stehen lassen und sie zudem mit graphischen Elementen aufwerten: Wo sonst können Sie zum Beispiel die ersten 100.000 Primzahlen oder ein Polynom vom Grad 680 auf einen Blick erfassen? Zum anderen werde ich die 3-D-Technologie nutzen, um zu zeigen, welche Schönheit in der Mathematik steckt.

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Christoph Koutschan studierte an der Friedrich-Alexander-Universität in Erlangen – Nürnberg und wechselte dann an die Johannes Kepler Universität Linz, wo er 2009 am RISC, dem Institut für Symbolisches Rechnen, unter Peter Paule promovierte. Es folgten zwei jeweils einjährige Forschungsaufenthalte als Postdoc an der Tulane University in den USA und am INRIA in Frankreich. Seitdem ist er wieder in Linz tätig; sein Habilitationsverfahren an der JKU steht kurz vor dem Abschluss. Koutschans Forschungsgebiete liegen in der Computeralgebra und der Kombinatorik. Er entwickelte eine Software, mit deren Hilfe einerseits mathematische Identitäten bewiesen, andererseits auch Integrale und Summen symbolisch ausgewertet werden können. Mit Hilfe dieses Werkzeugs gelang ihm auch die Lösung mehrerer, bisher offener mathematischer Probleme: eines dieser Resultate, das in Zusammenarbeit mit Manuel Kauers (JKU) und Doron Zeilberger (Rutgers University, USA) erzielt wurde, wurde 2016 mit dem renommierten Robbins-Prize der American Mathematical Society ausgezeichnet.

Die Vortragsserie Next Generation JKU ist eine fünfteilige Präsentationsreihe, die hochaktuelle gesellschaftsrelevante Forschungsergebnisse der jüngsten Wissenschaftsgeneration der Johannes Kepler Universität an die interessierte Öffentlichkeit bringt. Mit dem mathematischen Vortrag von Dr. Christoph Koutschan endet die Reihe vorerst.

Den ganzen Vortrag von Dr. Koutschan können sie am 1.6.2017 ab 19:00 hier im Live-Stream verfolgen:

Blogbeiträge zu einigen Vorträgen dieser Reihe:

https://www.aec.at/aeblog/de/2017/04/14/next-generation-jku/

https://www.aec.at/aeblog/de/2017/03/29/alles-leben-ist-chemie/

https://www.aec.at/aeblog/de/2017/02/23/daten-sehen-krebs-verstehen/

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